Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}$ als ${(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1.1

Schreibe $\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$ als ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4} \cdot - 1}]$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1}{4}}]$

Schritt 4.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{4}}$ und $g (x) = 9 x^{2} - 5$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $9 x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $9 x^{2} - 5$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 4.9

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 4.12

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + 0)$

Schritt 4.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.13.1

Addiere $18 x$ und $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x)$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $18$ mit $- 1$ .

$- 18 \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

Schritt 4.13.3

Kombiniere $- 18$ und $\frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

Schritt 4.13.4

Kombiniere $\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ und $x$ .

$\frac{- 18 x}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.13.5

Faktorisiere $2$ aus $- 18 x$ heraus.

$\frac{2 (- 9 x)}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}$ heraus.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$