Analysis Beispiele

$\ln (3 + x - x^{3})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 + x - x^{3}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 + x - x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 + x - x^{3}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 + x - x^{3}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 + x - x^{3}$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} \frac{d}{d x} [3 + x - x^{3}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + x - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - (3 x^{2}))$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - 3 x^{2})$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{3 + x - x^{3}} (1 - 3 x^{2})$ um.

$(1 - 3 x^{2}) \frac{1}{3 + x - x^{3}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $1 - 3 x^{2}$ mit $\frac{1}{3 + x - x^{3}}$ .

$\frac{1 - 3 x^{2}}{3 + x - x^{3}}$