Analysis Beispiele

$x \tan^{2} (x)$

Schritt 1

Schreibe $x \tan^{2} (x)$ als Funktion.

$f (x) = x \tan^{2} (x)$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \tan^{2} (x) d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \tan^{2} (x)$ .

$x (- x + \tan (x)) - \int - x + \tan (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$x (- x + \tan (x)) - (\int - x d x + \int \tan (x) d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$x (- x + \tan (x)) - (- \int x d x + \int \tan (x) d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \tan (x) d x)$

Schritt 8

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$- x \cdot x + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Schritt 9.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Schritt 9.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x^{1 + 1} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Schritt 9.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Schritt 9.4

Vereinfache.

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Schritt 9.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + x \tan (x) - - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 9.4.2

Multipliziere $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 9.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + 1 \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 9.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{x^{2}}{2}$ mit $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$