Analysis Beispiele

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

Schritt 1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 2

Sei $u = x - 3$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = x - 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Schritt 2.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{lower} = 0 - 3$

Schritt 2.3

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x - 3$ ein.

$u_{upper} = 4 - 3$

Schritt 2.5

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $\frac{1}{3} u^{3}$ bei $1$ und $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

Schritt 5.2

Berechne $3 x$ bei $4$ und $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.3

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $- 27$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $27$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $27$ und $3$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.6.2.4

Dividiere $9$ durch $1$ .

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.7

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.8

Kombiniere $9$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.10.1

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.10.2

Addiere $1$ und $27$ .

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Schritt 5.3.12

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

Schritt 5.3.13

Addiere $12$ und $0$ .

$\frac{28}{3} + 12$

Schritt 5.3.14

Um $12$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.3.15

Kombiniere $12$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.3.17

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.17.1

Mutltipliziere $12$ mit $3$ .

$\frac{28 + 36}{3}$

Schritt 5.3.17.2

Addiere $28$ und $36$ .

$\frac{64}{3}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{64}{3}$

Dezimalform:

$21.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$21 \frac{1}{3}$

Schritt 7