Analysis Beispiele

$\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{\sqrt{x}}]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x^{\frac{1}{2}}}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 4

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}] - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 13

Kombiniere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 14

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 15

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 16

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 17

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 18

Mutltipliziere $\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 19

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.1

Kombinieren.

$\frac{2 (\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} - e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Schritt 19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Schritt 19.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 19.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Schritt 19.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + 2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Schritt 19.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{2 x}$

Schritt 20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{2 x}$

Schritt 21

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{2 x}$

Schritt 22

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Schritt 23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{2 x}$

Schritt 24

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{2 x}$

Schritt 24.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{2 x}$

Schritt 25

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{2 x}$

Schritt 26

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{2 x}$

Schritt 27

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 28

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2}$ und $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot - 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Schritt 29

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}}{2 x}$

Schritt 29.2

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 30

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 31

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 31.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{2 x}$

Schritt 31.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- e^{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 31.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 32

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 33

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 33.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 33.1.1

Faktorisiere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ aus $e^{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 33.1.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 - \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 33.1.1.2

Faktorisiere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ aus $- \frac{e^{x^{\frac{1}{2}}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 33.1.1.3

Faktorisiere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ aus $e^{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + e^{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 33.1.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 x}$

Schritt 33.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 33.2

Kombiniere $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Schritt 33.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x}$

Schritt 33.4

Kombinieren.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} (2 x)}$

Schritt 33.5

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 33.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 33.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 33.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 33.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{1 + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 33.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 33.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 33.5.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1) \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 33.6

Mutltipliziere $e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)$ mit $1$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}$

Schritt 33.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{e^{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 x^{\frac{3}{2}}}$