Analysis Beispiele

$y = (x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x^{2} + x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $x^{2} + x + 1$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + 0)$

Schritt 2.9

Addiere $2 x + 1$ und $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1 \cdot 1$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

Schritt 3.4.8

Addiere $- 2 x$ und $x$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1$

Schritt 3.4.9

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x + 1 - x - 1$

Schritt 3.4.10

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 1 - 1$

Schritt 3.4.11

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} + 1 - 1$

Schritt 3.4.12

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 3.4.13

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2}$