Analysis Beispiele

$\cos (x y) = x^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 2 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ um.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 2 x$

Schritt 5.2

Addiere $y \sin (x y)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$ durch $- x \sin (x y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y' \sin (x y) = 2 x + y \sin (x y)$ durch $- x \sin (x y)$ .

$\frac{- x y' \sin (x y)}{- x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x y)$ .

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Schritt 5.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.2.3.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2}{- \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Separiere Brüche.

$y' = \frac{2}{- 1} \cdot \frac{1}{\sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x y)}$ nach $\csc (x y)$ um.

$y' = \frac{2}{- 1} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x y)$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - 2 \csc (x y) + \frac{y}{- x}$

Schritt 5.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - 2 \csc (x y) - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \csc (x y) - \frac{y}{x}$