Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Schritt 1.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Schritt 1.4.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{3} + 0 + x^{2}$

Schritt 1.5

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$