Analysis Beispiele

$\sqrt{4 + x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{4 + x^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \sqrt{4 + x^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $x = 2 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{4 + {(2 \tan (t))}^{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$\int \sqrt{4 + 2^{2} \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{4 + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1) + 4 \tan^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (\tan^{2} (t))$ heraus.

$\int \sqrt{4 (1 + \tan^{2} (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.5

Ordne Terme um.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.6

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.7

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Bewege $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (t)$ mit $\sec (t)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Schritt 5.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Schritt 5.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Schritt 6

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 7

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 8

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 9

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 10

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 11

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 12.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 13

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 14

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 14.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 15

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 16

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 18

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 19

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 20

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 21

Addiere $2$ und $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 22

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 23

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 24

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 25

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 25.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 25.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 26

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 27

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 28

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 29.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 29.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 30

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 31.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 31.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{2})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.6

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 31.1.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.9

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.10

Kombinieren.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 31.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.6

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 31.1.12.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 31.1.12.9

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Schritt 31.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Schritt 31.1.14

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Schritt 31.2

Um $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Schritt 31.3

Kombiniere $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Schritt 31.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 31.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Schritt 31.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 31.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Schritt 31.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 31.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Schritt 32

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$

Schritt 33

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \sqrt{4 + x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$