Analysis Beispiele

$f (x) = e^{x y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (f (x)) = \frac{d}{d y} (e^{x y})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $f (x)$ $\frac{d f}{d x}$ ist.

$\frac{d f}{d x}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y$ .

$e^{x y} \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$e^{x y} (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$e^{x y} (x + y x')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x y} x + e^{x y} (y x')$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\frac{d f}{d x} = e^{x y} x + e^{x y} y x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$ um.

$e^{x y} x + e^{x y} y x' = \frac{d f}{d x}$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $e^{x y} x + e^{x y} y x'$ um.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{d f}{d x}$

Schritt 5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x e^{x y} + y x' e^{x y} = \frac{f}{x}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $x e^{x y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ durch $y e^{x y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y x' e^{x y} = \frac{f}{x} - x e^{x y}$ durch $y e^{x y}$ .

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x' e^{x y}}{y e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x y}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{x y}}{e^{x y}} = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{\frac{f}{x}}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x' = \frac{f}{x} \cdot \frac{1}{y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kombinieren.

$x' = \frac{f \cdot 1}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.3

Mutltipliziere $f$ mit $1$ .

$x' = \frac{f}{x (y e^{x y})} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x y}$ .

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Schritt 5.5.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x e^{x y}}{y e^{x y}}$

Schritt 5.5.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} + \frac{- x}{y}$

Schritt 5.5.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{f}{x y e^{x y}} - \frac{x}{y}$