Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}}]$ .

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Schritt 2.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{3}}}{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] - x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) - x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.8.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{e^{x} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{e^{x} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.11

Kombiniere $e^{x}$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\frac{e^{x} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.12

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.13

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.2.13.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{x \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.13.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.14

Mutltipliziere $\frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}}$ mit $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.15

Kombinieren.

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} (\frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.16

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.1.2.17.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \frac{e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.17.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} + 3 x^{\frac{2}{3}} (- x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{2}{3}} (x^{\frac{1}{3}} e^{x})}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{1 + 2}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.21

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{3}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.22

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1.2.22.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} - 3 x^{\frac{3}{3}} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.22.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} - 3 x^{1} e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.2.23

Vereinfache.

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}} + 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Addiere $\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}}$ und $0$ .

$\frac{e^{x} - 3 x e^{x}}{3 x^{\frac{2}{3}} e^{2 x}}$

Schritt 2.1.4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 e^{x} x + e^{x}}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 3 e^{x} x + e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.1.4.3.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- 3 e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (- 3 x) + e^{x}}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.3.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{x} (- 3 x) + e^{x} \cdot 1}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.3.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (- 3 x) + e^{x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (- 3 x + 1)}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.4

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} (- 3 x + 1)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.5.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $3 e^{2 x} x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{e^{2 x} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 2.1.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- 3 x + 1))}{e^{2 x} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 2.1.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} (- 3 x + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (3 x) + 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.7

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{e^{- x} (- (3 x) - 1 (- 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{e^{- x} (- (3 x - 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.9

Schreibe $- (3 x - 1)$ als $- 1 (3 x - 1)$ um.

$\frac{e^{- x} (- 1 (3 x - 1))}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.1.4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{e^{- x} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{e^{- x} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x} (3 x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{e^{- x} (3 x - 1)}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.2

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [e^{- x} (3 x - 1)] - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- x}$ und $g (x) = 3 x - 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5

Differenziere.

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Schritt 2.2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} (3 + 0) + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (e^{- x} \cdot 3 + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 \cdot e^{- x} + (3 x - 1) \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.7

Differenziere.

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Schritt 2.2.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} (- 1 \cdot 1)) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (3 x - 1) e^{- x} \cdot - 1) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.7.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $(3 x - 1) e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - 1 \cdot ((3 x - 1) e^{- x})) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.7.3.3

Schreibe $- 1 (3 x - 1)$ als $- (3 x - 1)$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.7.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.11.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.13

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - e^{- x} (3 x - 1) \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.14

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $e^{- x}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} e^{- x}}{3} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.15

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.16

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}$

Schritt 2.2.17

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 \cdot x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} + (- (3 x) - - 1) e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x} - (3 x) e^{- x} - - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x - 1)}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} (3 e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.18.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.18.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- (3 x) e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{2}{3}} (x e^{- x}) + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.3

Multipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.18.5.1.3.1

Bewege $x$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 (x \cdot x^{\frac{2}{3}}) e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.18.5.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 (x^{1} x^{\frac{2}{3}}) e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{1 + \frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{3 + 2}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.3.5

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 1 \cdot 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} (- - 1 e^{- x}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} - 1 \cdot - 1 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + 1 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.7

Mutltipliziere $x^{\frac{2}{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.18.5.1.8.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ in den Zähler.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.8.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.8.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 (x)) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.2.18.5.1.8.5

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{3}}} x - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.9

Kombiniere $\frac{- 2 e^{- x}}{x^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} + \frac{- 2 e^{- x} x}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.10

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.11

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.18.5.1.11.1

Bewege $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} (x^{- \frac{1}{3}} x) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.11.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.18.5.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} (x^{- \frac{1}{3}} x^{1}) - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{- \frac{1}{3} + 1} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.11.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{- 1 + 3}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.11.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} - \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.12

Multipliziere $- \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.18.5.1.12.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + 1 \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.1.12.2

Mutltipliziere $\frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.2

Addiere $3 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ und $x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ .

$- \frac{4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} - 2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.3

Subtrahiere $2 e^{- x} x^{\frac{2}{3}}$ von $4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ .

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Schritt 2.2.18.5.3.1

Bewege $e^{- x}$ .

$- \frac{4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.5.3.2

Subtrahiere $2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ von $4 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}$ .

$- \frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.6

Vereine die Terme

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Schritt 2.2.18.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ mit $\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- (\frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{3 x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Schritt 2.2.18.6.2

Kombinieren.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x} - 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x} + \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}})}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} \frac{2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}}}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 2.2.18.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.2.18.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 x^{\frac{1}{3}} (2 x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{6 x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{2}{3}} e^{- x}) + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{6 x^{\frac{2 + 1}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.8

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{6 x^{\frac{3}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.18.6.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 x^{\frac{3}{3}} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.9.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6 x^{1} e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.10

Vereinfache.

$- \frac{6 x e^{- x} + 3 x^{\frac{1}{3}} (- 3 x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.11

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{5}{3}} e^{- x}) + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.12

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{5 + 1}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.14

Addiere $5$ und $1$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{6}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 2.2.18.6.15.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.18.6.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{\frac{2}{1}} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.15.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{3 x^{\frac{1}{3}} (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.16

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}}$

Schritt 2.2.18.6.17

Multipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x^{\frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.18.6.17.1

Bewege $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 (x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Schritt 2.2.18.6.17.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Schritt 2.2.18.6.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Schritt 2.2.18.6.17.4

Addiere $4$ und $1$ .

$- \frac{6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.18.7.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $6 x e^{- x} - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.18.7.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $6 x e^{- x}$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (6 x) - 9 x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.7.1.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- 9 x^{2} e^{- x}$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2}) + 2 e^{- x}}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.7.1.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $2 e^{- x}$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.7.1.4

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (6 x) + e^{- x} (- 9 x^{2})$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (6 x - 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.7.1.5

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (6 x - 9 x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (6 x - 9 x^{2} + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.7.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{e^{- x} (- 9 x^{2} + 6 x + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2}) + 6 x + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.9

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2}) - (- 6 x) + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{2}) - (- 6 x)$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x) + 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.11

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (9 x^{2} - 6 x) - 1 (- 2)$ heraus.

$- \frac{e^{- x} (- (9 x^{2} - 6 x - 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.13

Schreibe $- (9 x^{2} - 6 x - 2)$ als $- 1 (9 x^{2} - 6 x - 2)$ um.

$- \frac{e^{- x} (- 1 (9 x^{2} - 6 x - 2))}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.2.18.16

Mutltipliziere $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2)}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

$9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Setze $e^{- x}$ gleich $0$ .

$e^{- x} = 0$

Schritt 3.3.2.2

Löse $e^{- x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Schritt 3.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 3.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 3.3.3

Setze $9 x^{2} - 6 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $9 x^{2} - 6 x - 2$ gleich $0$ .

$9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $9 x^{2} - 6 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.3.2.2

Setze die Werte $a = 9$ , $b = - 6$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (9 \cdot - 2)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.2.3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.3

Addiere $36$ und $72$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.4

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.3.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

Schritt 3.3.3.2.3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.2.4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.3

Addiere $36$ und $72$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.4

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.4.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

Schritt 3.3.3.2.4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 9 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 9 \cdot - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36 \cdot - 2}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 72}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.3

Addiere $36$ und $72$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.4

Schreibe $108$ als $6^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.5.1.4.1

Faktorisiere $36$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.4.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

Schritt 3.3.3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$x = \frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$

Schritt 3.3.3.2.5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 6 \sqrt{3}}{18}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- x} (9 x^{2} - 6 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{3}, \frac{1 - \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $0.9106836$ in $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.9106836$ .

$f (0.9106836) = \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$

Schritt 4.1.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0.9106836$ in $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$

Schritt 4.3

Ersetze $- 0.24401693$ in $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.24401693$ .

$f (- 0.24401693) = \frac{\sqrt[3]{- 0.24401693}}{e^{- 0.24401693}} + 1$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Bringe $e^{- 0.24401693}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{- 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe $- 0.24401693$ als ${(- 1)}^{3} \cdot 0.24401693$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.2.1

Forme um.

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{- 1 \cdot 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$f (- 0.24401693) = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Schritt 4.3.2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- 0.24401693) = - 1 \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4

Schreibe $- 1 \sqrt[3]{0.24401693}$ als $- \sqrt[3]{0.24401693}$ um.

$f (- 0.24401693) = - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Schritt 4.3.2.2

Die endgültige Lösung ist $- \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$ .

$- \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- 0.24401693$ in $f (x) = \frac{\sqrt[3]{x}}{e^{x}} + 1$ ermittelt werden kann, ist $(- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$

Schritt 4.5

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1), (- 0.24401693, - \sqrt[3]{0.24401693} e^{0.24401693} + 1)$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - 0.24401693) \cup (- 0.24401693, 0.9106836) \cup (0.9106836, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - 0.24401693)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.34401693$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (9 {(- 0.34401693)}^{2} - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 0.34401693$ mit $2$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (9 \cdot 0.11834765 - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $0.11834765$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (1.06512886 - 6 \cdot - 0.34401693 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 0.34401693$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (1.06512886 + 2.06410161 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.1.4

Addiere $1.06512886$ und $2.06410161$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} (3.12923048 - 2)}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.1.5

Subtrahiere $2$ von $3.12923048$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{- (- 0.34401693)} \cdot 1.12923048}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.34401693$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{e^{0.34401693} \cdot 1.12923048}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $e^{0.34401693}$ mit $1.12923048$ .

$f'' (- 0.34401693) = \frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1.59289537}{9 {(- 0.34401693)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 6.3

Bei $- 0.34401693$ , die zweite Ableitung ist $- 1.04788036$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \infty, - 0.24401693)$

Abfallend im Intervall $(- \infty, - 0.24401693)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- 0.24401693, 0.9106836)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{e^{- (0.\overline{3})} (9 {(0.\overline{3})}^{2} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2)}{9 {(0.\overline{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Bringe $e^{- (0.\overline{3})}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{9 {(0.\overline{3})}^{2} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 {(0.\overline{3})}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $2$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{9 \cdot 0.\overline{1} - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{1 - 6 \cdot 0.\overline{3} - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $0.\overline{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{1 - 2 - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Schritt 7.2.2.4

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 1 - 2}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Schritt 7.2.2.5

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{9 \cdot ({0.\overline{3}}^{\frac{5}{3}} e^{0.\overline{3}})}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.3.1

Potenziere $0.\overline{3}$ mit $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{9 \cdot (0.16024995 e^{0.\overline{3}})}$

Schritt 7.2.3.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.3.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $0.16024995$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{1.44224957 e^{0.\overline{3}}}$

Schritt 7.2.3.2.2

Mutltipliziere $1.44224957$ mit $e^{0.\overline{3}}$ .

$f'' (0.\overline{3}) = \frac{- 3}{2.01282142}$

Schritt 7.2.4

Dividiere $- 3$ durch $2.01282142$ .

$f'' (0.\overline{3}) = - 1.49044518$

Schritt 7.2.5

Die endgültige Lösung ist $- 1.49044518$ .

$- 1.49044518$

Schritt 7.3

Bei $0.\overline{3}$ , die zweite Ableitung ist $- 1.49044518$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- 0.24401693, 0.9106836)$

Abfallend im Intervall $(- 0.24401693, 0.9106836)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0.9106836, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.0106836$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{e^{- (1.0106836)} (9 {(1.0106836)}^{2} - 6 \cdot 1.0106836 - 2)}{9 {(1.0106836)}^{\frac{5}{3}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Bringe $e^{- (1.0106836)}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9 {(1.0106836)}^{2} - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 {(1.0106836)}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $1.0106836$ mit $2$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9 \cdot 1.02148134 - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Schritt 8.2.2.2

Mutltipliziere $9$ mit $1.02148134$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9.19333209 - 6 \cdot 1.0106836 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Schritt 8.2.2.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1.0106836$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{9.19333209 - 6.06410161 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Schritt 8.2.2.4

Subtrahiere $6.06410161$ von $9.19333209$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{3.12923048 - 2}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Schritt 8.2.2.5

Subtrahiere $2$ von $3.12923048$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9 \cdot ({1.0106836}^{\frac{5}{3}} e^{1.0106836})}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.3.1

Potenziere $1.0106836$ mit $\frac{5}{3}$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9 \cdot (1.01786933 e^{1.0106836})}$

Schritt 8.2.3.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.2.3.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $1.01786933$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{9.16082405 e^{1.0106836}}$

Schritt 8.2.3.2.2

Mutltipliziere $9.16082405$ mit $e^{1.0106836}$ .

$f'' (1.0106836) = \frac{1.12923048}{25.16916766}$

Schritt 8.2.4

Dividiere $1.12923048$ durch $25.16916766$ .

$f'' (1.0106836) = 0.04486562$

Schritt 8.2.5

Die endgültige Lösung ist $0.04486562$ .

$0.04486562$

Schritt 8.3

Bei $1.0106836$ ist die zweite Ableitung $0.04486562$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0.9106836, \infty)$ .

Ansteigend im Intervall $(0.9106836, \infty)$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall ist der Wendepunkt $(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$ .

$(0.9106836, \frac{\sqrt[3]{0.9106836}}{e^{0.9106836}} + 1)$

Schritt 10