Analysis Beispiele

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Schritt 4

Sei $u = 1 + \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 1 + \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 4.1.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Schritt 4.1.4

Addiere $0$ und $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $1 + \sin (x)$ .

$\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Schritt 7

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$F (x) =$ $\ln (| 1 + \sin (x) |) + C$