Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + x$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int - \frac{1}{x^{2}} + x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int x d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int x d x$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int x d x$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int x d x$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \int x^{- 2} d x + \int x d x$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \int x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (- x^{- 1} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$- - \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 9

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + x$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{x} + \frac{1}{2} x^{2} + C$