Analysis Beispiele

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ nach $\sec^{2} (x)$ um.

$\int \sec^{2} (x) - \frac{1}{\sin^{2} (x)} d x$

Schritt 4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ nach $\csc^{2} (x)$ um.

$\int \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sec^{2} (x) d x + \int - \csc^{2} (x) d x$

Schritt 6

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$\tan (x) + C + \int - \csc^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\tan (x) + C - \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$\tan (x) + C - (- \cot (x) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$\tan (x) + \cot (x) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \cot (x) + C$