Analysis Beispiele

$(x + 3) e^{- 2 x}$

Schritt 1

Schreibe $(x + 3) e^{- 2 x}$ als Funktion.

$f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (x + 3) e^{- 2 x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x + 3$ und $d v = e^{- 2 x}$ .

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} d x$

Schritt 5

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(x + 3) (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - (- \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + 1 (\frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x)$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 7

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 7.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 8

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 8.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 9

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 13

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Schritt 13.1

Schreibe $(x + 3) (- \frac{e^{- 2 x}}{2}) - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ als $- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ um.

$- x \frac{e^{- 2 x}}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 13.2

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Schritt 13.2.1

Kombiniere $\frac{e^{- 2 x}}{2}$ und $x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} + \frac{- 3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 13.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Schritt 15

Kombiniere $e^{- 2 x}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{e^{- 2 x} x}{2} - \frac{3 e^{- 2 x}}{2} - \frac{e^{- 2 x}}{4} + C$

Schritt 16

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (x + 3) e^{- 2 x}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{3}{2} e^{- 2 x} - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$