Analysis Beispiele

$x \cdot e^{3 x}$

Schritt 1

Schreibe $x \cdot e^{3 x}$ als Funktion.

$f (x) = x \cdot e^{3 x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x \cdot e^{3 x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{3 x}$ .

$x (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $e^{3 x}$ .

$x \frac{e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Schritt 5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{3 x} d x$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \int e^{3 x} d x)$

Schritt 7

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 7.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 7.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Schritt 8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Schritt 9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u} d u$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u} d u$

Schritt 11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$

Schritt 12

Schreibe $\frac{x e^{3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u} + C)$ als $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$ um.

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{u} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$

Schritt 14

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x \cdot e^{3 x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$