Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int \frac{1}{{(4 - 3 x)}^{2}} d x$

Schritt 4

Sei $u = 4 - 3 x$ . Dann ist $d u = - 3 d x$ , folglich $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 4 - 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $4 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 3 x]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 4.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$0 - 3$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $3$ von $0$ .

$- 3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{2}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$6 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

Schritt 5.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{2}$ .

$6 \int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$6 (- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u)$

Schritt 7

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- 6 \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$- 6 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 6$ .

$\frac{- 6}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 9.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $3$ .

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Schritt 9.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 9.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (1)} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 9.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 9.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{1} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 9.1.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 9.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.2.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 9.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 9.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \int u^{- 2} d u$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$- 2 (- u^{- 1} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Schreibe $- 2 (- u^{- 1} + C)$ als $- 2 (- \frac{1}{u}) + C$ um.

$- 2 (- \frac{1}{u}) + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \frac{1}{u} + C$

Schritt 11.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{u}$ .

$\frac{2}{u} + C$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $4 - 3 x$ .

$\frac{2}{4 - 3 x} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{6}{{(4 - 3 x)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{4 - 3 x} + C$