Analysis Beispiele

$\frac{2}{- x^{2} - 9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{- x^{2} - 9}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{- x^{2} - 9}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{- x^{2} - 9}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{- x^{2} - 9}$ als ${(- x^{2} - 9)}^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} - 9)}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = - x^{2} - 9$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} - 9$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [- x^{2} - 9])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 9])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} - 9$ .

$2 (- {(- x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 9])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 ({(- x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 9])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- 2 {(- x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 {(- x^{2} - 9)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 {(- x^{2} - 9)}^{- 2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(- x^{2} - 9)}^{- 2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 3.6

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 {(- x^{2} - 9)}^{- 2} (- 2 x + 0)$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $- 2 x$ und $0$ .

$- 2 {(- x^{2} - 9)}^{- 2} (- 2 x)$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 {(- x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{{(- x^{2} - 9)}^{2}} x$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{{(- x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(- x^{2} - 9)}^{2}} x$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\frac{4}{{(- x^{2} - 9)}^{2}}$ und $x$ .

$\frac{4 x}{{(- x^{2} - 9)}^{2}}$