Analysis Beispiele

$lim_{x \to 15} \frac{2}{\sqrt{x + 5}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 15} \frac{1}{\sqrt{x + 5}}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $15$ annähert.

$2 \frac{lim_{x \to 15} 1}{lim_{x \to 15} \sqrt{x + 5}}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $15$ annähert.

$2 \frac{1}{lim_{x \to 15} \sqrt{x + 5}}$

Schritt 1.4

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 15} x + 5}}$

Schritt 1.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $15$ annähert.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 15} x + lim_{x \to 15} 5}}$

Schritt 1.6

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $15$ annähert.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 15} x + 5}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $15$ für $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{15 + 5}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Addiere $15$ und $5$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{20}}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $20$ als $2^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$2 \frac{1}{\sqrt{4 (5)}}$

Schritt 3.1.2.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}$

Schritt 3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 \frac{1}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{5}$ heraus.

$2 \frac{1}{2 (\sqrt{5})}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 \sqrt{5}}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 3.4.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 3.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

Dezimalform:

$0.44721359 \dots$