Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})} d x$

Schritt 3

Wandle von $\frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ nach $\csc^{2} (4 x - \frac{π}{3})$ um.

$\int \csc^{2} (4 x - \frac{π}{3}) d x$

Schritt 4

Sei $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 4 x - \frac{π}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $4 x - \frac{π}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - \frac{π}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- \frac{π}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{π}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \csc^{2} (u) \frac{1}{4} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\csc^{2} (u)$ und $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\csc^{2} (u)}{4} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u) d u$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (u)$ gleich $\csc^{2} (u)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (u)$ gleich $- \cot (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (u) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (- \cot (u)) + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\cot (u)$ .

$- \frac{\cot (u)}{4} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $4 x - \frac{π}{3}$ .

$- \frac{\cot (4 x - \frac{π}{3})}{4} + C$

Schritt 10

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$

Schritt 11

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} (4 x - \frac{π}{3})}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{4} \cot (4 x - \frac{π}{3}) + C$