Analysis Beispiele

$\int_{- 8}^{4} \frac{14}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $14$ aus dem Integral.

$14 \int_{- 8}^{4} \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 9 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 9 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 9 - 2 x$ ein.

$u_{lower} = 9 - 2 \cdot - 8$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 8$ .

$u_{lower} = 9 + 16$

Schritt 2.3.2

Addiere $9$ und $16$ .

$u_{lower} = 25$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 9 - 2 x$ ein.

$u_{upper} = 9 - 2 \cdot 4$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$u_{upper} = 9 - 8$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $8$ von $9$ .

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 25$

$u_{upper} = 1$

Schritt 2.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$14 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{\frac{3}{2}}$ .

$14 \int_{25}^{1} - \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$14 (- \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $14$ .

$- 14 \int_{25}^{1} \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 14 (\frac{1}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 14$ .

$\frac{- 14}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 14$ und $2$ .

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Schritt 7.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 14$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 7}{2} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 7}{1} \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 7.1.2.2.4

Dividiere $- 7$ durch $1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 7.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 7.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 7.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 7 \int_{25}^{1} u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 7.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 7 \int_{25}^{1} u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$- 7 (- 2 u^{- \frac{1}{2}}]_{25}^{1})$

Schritt 9

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 9.1

Berechne $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ bei $1$ und $25$ .

$- 7 ((- 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}) + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9.2

Vereinfache.

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Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 7 (- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot 25^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 9.2.4

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 9.2.5

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 9.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{2 (\frac{1}{2})}})$

Schritt 9.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5^{1}})$

Schritt 9.2.7

Berechne den Exponenten.

$- 7 (- 2 + 2 \cdot \frac{1}{5})$

Schritt 9.2.8

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$- 7 (- 2 + \frac{2}{5})$

Schritt 9.2.9

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (- 2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{2}{5})$

Schritt 9.2.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{5}$ .

$- 7 (\frac{- 2 \cdot 5}{5} + \frac{2}{5})$

Schritt 9.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 7 \frac{- 2 \cdot 5 + 2}{5}$

Schritt 9.2.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.12.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$- 7 \frac{- 10 + 2}{5}$

Schritt 9.2.12.2

Addiere $- 10$ und $2$ .

$- 7 (\frac{- 8}{5})$

Schritt 9.2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 7 (- \frac{8}{5})$

Schritt 9.2.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$7 (\frac{8}{5})$

Schritt 9.2.15

Kombiniere $7$ und $\frac{8}{5}$ .

$\frac{7 \cdot 8}{5}$

Schritt 9.2.16

Mutltipliziere $7$ mit $8$ .

$\frac{56}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{56}{5}$

Dezimalform:

$11.2$

Darstellung als gemischte Zahl:

$11 \frac{1}{5}$

Schritt 11