Analysis Beispiele

$y = \arctan (\sqrt{x - 4})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 4}$ als ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(x - 4)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + {(x - 4)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{1}{1 + x - 4} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{x - 3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - 4$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.10

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2} {(x - 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{{(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.10.3

Bringe ${(x - 4)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x - 3} (\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 4])$

Schritt 4.10.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x - 3}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Schritt 4.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 4.13

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} (1 + 0)$

Schritt 4.14

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.14.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)} \cdot 1$

Schritt 4.14.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 {(x - 4)}^{\frac{1}{2}} (x - 3)}$