Analysis Beispiele

$y \cdot 2^{y} = x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y \cdot 2^{y}) = \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = 2^{y}$ .

$y \frac{d}{d x} [2^{y}] + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y (\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$y (2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y (2^{y} \ln (2) \frac{d}{d x} [y]) + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Stelle die Terme um.

$2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Schritt 2.5.2

Stelle die Faktoren in $2^{y} y \ln (2) y' + 2^{y} y'$ um.

$y \cdot 2^{y} \ln (2) y' + 2^{y} y'$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y' = 1$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $y \cdot (2^{y} \ln (2) y') + 2^{y} y'$ .

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Schritt 5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y' = 1$

Schritt 5.1.2

Stelle die Faktoren in $\ln (2) y (2^{y} y') + 2^{y} y'$ um.

$y y' \cdot 2^{y} \ln (2) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y' \cdot 2^{y}$ aus $y y' \cdot (2^{y} \ln (2)) + y' \cdot 2^{y}$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y' \cdot 2^{y}$ aus $y y' \cdot (2^{y} \ln (2))$ heraus.

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot 2^{y} = 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y' \cdot 2^{y}$ aus $y' \cdot 2^{y}$ heraus.

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2))) + y' \cdot (2^{y} (1)) = 1$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y' \cdot 2^{y}$ aus $y' \cdot 2^{y} (y \cdot \ln (2)) + y' \cdot 2^{y} \cdot 1$ heraus.

$y' \cdot (2^{y} (y \cdot \ln (2) + 1)) = 1$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $y$ mit $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y (\ln (2)) + 1)) = 1$

Schritt 5.4

Multipliziere $y$ mit $\ln (2)$ .

$y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ durch $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1)) = 1$ durch $2^{y} (y \ln (2) + 1)$ .

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2^{y}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cdot (2^{y} (y \ln (2) + 1))}{2^{y} (y \ln (2) + 1)} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y \ln (2) + 1$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cdot (y \ln (2) + 1)}{y \ln (2) + 1} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{y} (y \ln (2) + 1)}$