Analysis Beispiele

$y = x + 4 \sqrt{x + 2}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4 \sqrt{x + 2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x + 2}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + \frac{d}{d x} [4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 + 4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]))$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0))$

Schritt 2.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 2.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 2.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0))$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0))$

Schritt 2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0))$

Schritt 2.12

Addiere $1$ und $0$ .

$1 + 4 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)$

Schritt 2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 + 4 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)$

Schritt 2.14

Mutltipliziere $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $1$ .

$1 + 4 \frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.15

Bringe ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 4 \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.16

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 + \frac{4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.17

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 2.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.18.3

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{2}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$