Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} \cdot \frac{6 x}{e^{x}}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{e^{x}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{x}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{e^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$6 \frac{e^{x} - x \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$6 \frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 5

Kombiniere $6$ und $\frac{e^{x} - x e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{6 (e^{x} - x e^{x})}{e^{2 x}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 e^{x} + 6 (- x e^{x})}{e^{2 x}}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{6 e^{x} - 6 x e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 6 e^{x} x + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.4

Faktorisiere $6 e^{x}$ aus $- 6 e^{x} x + 6 e^{x}$ heraus.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $6 e^{x}$ aus $- 6 e^{x} x$ heraus.

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $6 e^{x}$ aus $6 e^{x}$ heraus.

$\frac{6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)}{e^{2 x}}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $6 e^{x}$ aus $6 e^{x} (- x) + 6 e^{x} (1)$ heraus.

$\frac{6 e^{x} (- x + 1)}{e^{2 x}}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $6 e^{x} (- x + 1)$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x}}$

Schritt 6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (6 e^{- x} (- x + 1))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 e^{- x} (- x + 1)}{1}$

Schritt 6.5.2.4

Dividiere $6 e^{- x} (- x + 1)$ durch $1$ .

$6 e^{- x} (- x + 1)$

Schritt 6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$6 e^{- x} (- x) + 6 e^{- x} \cdot 1$

Schritt 6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x} \cdot 1$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 \cdot - 1 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$

Schritt 6.10

Stelle die Faktoren in $- 6 e^{- x} x + 6 e^{- x}$ um.

$- 6 x e^{- x} + 6 e^{- x}$