Analysis Beispiele

$\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}} d x$

Schritt 4

Sei $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Dann ist $d u_{2} = - e^{- x} d x$ , folglich $- \frac{1}{e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = 1 + e^{- x}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $1 + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{- x}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$0 + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 4.1.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + e^{- x} \cdot - 1$

Schritt 4.1.3.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$0 - 1 \cdot e^{- x}$

Schritt 4.1.3.6

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$0 - e^{- x}$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $e^{- x}$ von $0$ .

$- e^{- x}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{2} |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$- \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + e^{- x}$ .

$- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{e^{- x}}{1 + e^{- x}}$ .

$F (x) =$ $- \ln (| 1 + e^{- x} |) + C$