Analysis Beispiele

$(5 x + 1) e^{x}$

Schritt 1

Schreibe $(5 x + 1) e^{x}$ als Funktion.

$f (x) = (5 x + 1) e^{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int (5 x + 1) e^{x} d x$

Schritt 4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 5 x + 1$ und $d v = e^{x}$ .

$(5 x + 1) e^{x} - \int e^{x} \cdot 5 d x$

Schritt 5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$(5 x + 1) e^{x} - \int 5 e^{x} d x$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$(5 x + 1) e^{x} - (5 \int e^{x} d x)$

Schritt 7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$(5 x + 1) e^{x} - 5 \int e^{x} d x$

Schritt 8

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Schreibe $(5 x + 1) e^{x} - 5 (e^{x} + C)$ als $5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$ um.

$5 x e^{x} + e^{x} - 5 e^{x} + C$

Schritt 9.2

Subtrahiere $5 e^{x}$ von $e^{x}$ .

$5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = (5 x + 1) e^{x}$ .

$F (x) =$ $5 x e^{x} - 4 e^{x} + C$