Analysis Beispiele

$x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Schritt 1

Schreibe $x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ als Funktion.

$f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 \sqrt{x} d x$

Schritt 8

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int \sqrt{x} d x$

Schritt 9

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Schritt 11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Vereinfache.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - 2 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) + \frac{- 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 11.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = x^{2} + \frac{3}{x} - 2 \sqrt{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$