Analysis Beispiele

$x y^{2} - \sin (x + y) + y$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} - \sin (x + y) + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sin (x + y)]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x + y)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

$y^{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$y^{2} - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$y^{2} - (\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.5

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $0$ .

$y^{2} - (\cos (x + y) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y) + 0$

Schritt 4.2

Addiere $y^{2} - \cos (x + y)$ und $0$ .

$y^{2} - \cos (x + y)$