Analysis Beispiele

$y = (- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 - 9 x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 - 9 x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 6 + x - 6 x^{2}$ und $g (x) = - 9 - 9 x$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 9 - 9 x] + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 9 - 9 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (\frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \frac{d}{d x} [- 9 x] + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2.4

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 x$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) (- 9 \cdot 1) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$(- 6 + x - 6 x^{2}) \cdot - 9 + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2.6.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $- 6 + x - 6 x^{2}$ .

$- 9 \cdot (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) \frac{d}{d x} [- 6 + x - 6 x^{2}]$

Schritt 3.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 6 + x - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (\frac{d}{d x} [- 6] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Schritt 3.2.8

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (0 + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Schritt 3.2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Schritt 3.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}])$

Schritt 3.2.11

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 6 (2 x))$

Schritt 3.2.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$- 9 (- 6 + x - 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 12 x)$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) (1 - 12 x)$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) + (- 9 - 9 x) \cdot 1 + (- 9 - 9 x) (- 12 x)$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 + (- 9 - 9 x) (- 12 x)$

Schritt 3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- 9 \cdot - 6 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Schritt 3.3.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.3.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 6$ .

$54 - 9 x - 9 (- 6 x^{2}) - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 9$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 \cdot 1 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Schritt 3.3.5.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x \cdot 1 - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Schritt 3.3.5.4

Mutltipliziere $- 9$ mit $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x - 9 (- 12 x) - 9 x (- 12 x)$

Schritt 3.3.5.5

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x - 9 x (- 12 x)$

Schritt 3.3.5.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 9$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x \cdot x$

Schritt 3.3.5.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 (x^{1} x)$

Schritt 3.3.5.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 (x^{1} x^{1})$

Schritt 3.3.5.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x^{1 + 1}$

Schritt 3.3.5.10

Addiere $1$ und $1$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 - 9 x + 108 x + 108 x^{2}$

Schritt 3.3.5.11

Addiere $- 9 x$ und $108 x$ .

$54 - 9 x + 54 x^{2} - 9 + 99 x + 108 x^{2}$

Schritt 3.3.5.12

Subtrahiere $9$ von $54$ .

$- 9 x + 54 x^{2} + 45 + 99 x + 108 x^{2}$

Schritt 3.3.5.13

Addiere $- 9 x$ und $99 x$ .

$90 x + 54 x^{2} + 45 + 108 x^{2}$

Schritt 3.3.5.14

Addiere $54 x^{2}$ und $108 x^{2}$ .

$90 x + 162 x^{2} + 45$

Schritt 3.3.6

Stelle die Terme um.

$162 x^{2} + 90 x + 45$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 162 x^{2} + 90 x + 45$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 162 x^{2} + 90 x + 45$