Analysis Beispiele

$y = \sin^{4} (x^{2} + 3 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = \sin (x^{2} + 3 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x^{2} + 3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x^{2} + 3 x)$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [\sin (x^{2} + 3 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{2} + 3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{2} + 3 x$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) (\cos (x^{2} + 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3 \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 \sin^{3} (x^{2} + 3 x) \cos (x^{2} + 3 x) (2 x + 3)$