Analysis Beispiele

$[8 (4^{x})]$

Schritt 1

Schreibe $[8 (4^{x})]$ als Funktion.

$f (x) = [8 (4^{x})]$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

Schritt 4

Entferne die Klammern.

$\int 8 (4^{x}) d x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

Schritt 5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

Schritt 5.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

Schritt 5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

Schritt 6

Sei $u = 3 + 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = 3 + 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $3 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Schritt 6.1.2

Differenziere.

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Schritt 6.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 6.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 7

Kombiniere $2^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

Schritt 9

Das Integral von $2^{u}$ nach $u$ ist $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

Schritt 11

Ersetze alle $u$ durch $3 + 2 x$ .

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

Schritt 12

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 8 (4^{x})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$