Analysis Beispiele

$\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2} d x$

Schritt 4

Dividiere $3 x^{2} + 5 x - 1$ durch $x - 2$ .

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Schritt 4.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$3 x^{2}$

$5 x$

$1$

Schritt 4.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

Schritt 4.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} - 6 x$

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

Schritt 4.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$

Schritt 4.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Schritt 4.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $11 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$

Schritt 4.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					+	$11 x$	-	$22$

Schritt 4.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $11 x - 22$

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$

Schritt 4.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$	+	$11$
$x$	-	$2$		$3 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$11 x$	-	$1$
					-	$11 x$	+	$22$
							+	$21$

Schritt 4.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 3 x + 11 + \frac{21}{x - 2} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Schritt 6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x d x + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 11 d x + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Schritt 8

Wende die Konstantenregel an.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + \int \frac{21}{x - 2} d x$

Schritt 10

Da $21$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $21$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{x - 2} d x$

Schritt 11

Sei $u = x - 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Schritt 11.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 11.1.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 11.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 11 x + C + 21 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| u |) + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $x - 2$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Schritt 15

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$

Schritt 16

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{3 x^{2} + 5 x - 1}{x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 11 x + 21 \ln (| x - 2 |) + C$