Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\sqrt[3]{π}} x^{2} \cos (x^{3}) d x$

Schritt 1

Sei $u = x^{3}$ . Dann ist $d u = 3 x^{2} d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = x^{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = x^{3}$ ein.

$u_{lower} = 0^{3}$

Schritt 1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = x^{3}$ ein.

$u_{upper} = {\sqrt[3]{π}}^{3}$

Schritt 1.5

Schreibe ${\sqrt[3]{π}}^{3}$ als $π$ um.

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Schritt 1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{π}$ als $π^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$u_{upper} = {(π^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u_{upper} = π^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

Schritt 1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u_{upper} = π^{\frac{3}{3}}$

Schritt 1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$u_{upper} = π^{1}$

Schritt 1.5.5

Vereinfache.

$u_{upper} = π$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 2

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{3} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{3} \sin (u)]_{0}^{π}$

Schritt 5

Berechne $\sin (u)$ bei $π$ und $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) - \sin (0))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) - 0)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1}{3} (\sin (π) + 0)$

Schritt 6.3

Addiere $\sin (π)$ und $0$ .

$\frac{1}{3} \sin (π)$

Schritt 6.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (π)$ .

$\frac{\sin (π)}{3}$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$\frac{\sin (0)}{3}$

Schritt 7.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$\frac{0}{3}$

Schritt 7.2

Dividiere $0$ durch $3$ .

$0$