Analysis Beispiele

$y = \cos (θ) \cot (θ)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ gleich $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ ist mit $f (θ) = \cos (θ)$ und $g (θ) = \cot (θ)$ .

$\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cot (θ)] + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cot (θ)$ nach $θ$ ist $- \csc^{2} (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (θ)$ nach $θ$ ist $- \sin (θ)$ .

$\cos (θ) (- \csc^{2} (θ)) + \cot (θ) (- \sin (θ))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$- \csc^{2} (θ) \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\csc (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- {(\frac{1}{\sin (θ)})}^{2} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (θ)}$ an.

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\sin^{2} (θ)} \cos (θ) - \cot (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\cos (θ)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (θ)}$ .

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cot (θ) \sin (θ)$

Schritt 4.2.5

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.5.1

Füge Klammern hinzu.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\cot (θ) \sin (θ))$

Schritt 4.2.5.2

Schreibe $- \cot (θ) \sin (θ)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - (\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sin (θ))$

Schritt 4.2.5.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin^{2} (θ)} - \cos (θ)$

Schritt 4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $\sin (θ)$ aus $\sin^{2} (θ)$ heraus.

$- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)} - \cos (θ)$

Schritt 4.3.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) - \cos (θ)$

Schritt 4.3.3

Wandle von $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ nach $\cot (θ)$ um.

$- (\frac{1}{\sin (θ)} \cot (θ)) - \cos (θ)$

Schritt 4.3.4

Wandle von $\frac{1}{\sin (θ)}$ nach $\csc (θ)$ um.

$- \csc (θ) \cot (θ) - \cos (θ)$