Analysis Beispiele

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 6.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 6.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{- x} d x$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{- x} d x$

Schritt 11

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 11.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int - e^{u} d u$

Schritt 12

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (- \int e^{u} d u)$

Schritt 13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 \int e^{u} d u$

Schritt 14

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 2 (e^{u} + C)$

Schritt 15

Vereinfache.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{u} + C$

Schritt 16

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$

Schritt 17

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{- x}$ .

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) + 2 e^{- x} + C$