Analysis Beispiele

$\int {(4 + e^{x})}^{- 4} e^{x} d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 + e^{x}$ . Dann ist $d u = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 + e^{x}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + e^{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Schritt 1.1.4

Addiere $0$ und $e^{x}$ .

$e^{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{- 4} d u$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 4}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe $- \frac{1}{3} u^{- 3} + C$ als $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$ um.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}} + C$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{3}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{u^{3} \cdot 3} + C$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u^{3}$ .

$- \frac{1}{3 u^{3}} + C$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $4 + e^{x}$ .

$- \frac{1}{3 {(4 + e^{x})}^{3}} + C$