Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}}$ als ${(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 3 x$ und $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x] - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3 \cdot 1) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 9.11.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - (x^{2} - 3 x) \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Schritt 9.11.3

Mutltipliziere $\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{{(2 x + 1)}^{2} \cdot 2} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 9.11.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 \cdot {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} - 3 x}{2 x + 1})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} {(\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 10.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 3 x}$ an.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 (x^{2} - 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} - 2 (- 3 x)}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4

Vereine die Terme

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2}}$ mit $\frac{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{((2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x) {(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.3

Bringe ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4

Multipliziere ${(2 x + 1)}^{2}$ mit ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.4.4.1

Bewege ${(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 ({(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} {(2 x + 1)}^{2}) {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.4.4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4.4.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 3) - 2 x^{2} + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.6.1

Multipliziere $(2 x + 1) (2 x - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 10.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x - 3) + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x - 3) + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.6.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.6.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2.1.5

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x + 1 \cdot - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 6 x + 2 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.2.2

Addiere $- 6 x$ und $2 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 4 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.3

Addiere $- 2 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 3 + 6 x}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.6.4

Addiere $- 4 x$ und $6 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 3}{2 {(2 x + 1)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$