Analysis Beispiele

$\int \frac{9}{2 {(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

Schritt 1

Da $\frac{9}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{9}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{{(9 - 2 x)}^{\frac{1}{4}}} d x$

Schritt 2

Sei $u = 9 - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 9 - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $9 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [9 - 2 x]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$0 - 2$

Schritt 2.1.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$- 2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{\frac{1}{4}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{4}} \cdot 2} d u$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{9}{2} \int - \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} (- \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{4}}} d u)$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{9}{2} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u))$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $\frac{9}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{9}{4} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Bringe $u^{\frac{1}{4}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$- \frac{9}{4} \int {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

Schritt 6.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

Schritt 6.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$- \frac{9}{4} \int u^{\frac{- 1}{4}} d u$

Schritt 6.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{4} \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{4}}$ nach $u$ gleich $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $- \frac{9}{4} (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$ als $- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$ um.

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{9}{4}$ .

$- \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$- \frac{36}{3 \cdot 4} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- \frac{36}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $12$ .

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Schritt 8.2.4.1

Faktorisiere $12$ aus $36$ heraus.

$- \frac{12 \cdot 3}{12} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.4.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$- \frac{12 \cdot 3}{12 (1)} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{12 \cdot 3}{12 \cdot 1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{1} u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.4.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$- 1 \cdot 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 u^{\frac{3}{4}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $9 - 2 x$ .

$- 3 {(9 - 2 x)}^{\frac{3}{4}} + C$