Analysis Beispiele

${(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = 1 - \sin (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - \sin (x)$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2} {(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 6.2.2

Bringe ${(1 - \sin (x))}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - \sin (x)]$

Schritt 6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 6.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Schritt 6.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Schritt 6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \sin (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 6.7

Multipliziere.

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Schritt 6.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 6.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}} \cos (x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$ und $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{2 {(1 - \sin (x))}^{\frac{3}{2}}}$