Analysis Beispiele

$\int \frac{- 4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int - \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{4}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- (4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x)$

Schritt 4

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{16 - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - 36 x^{2}}} d x$

Schritt 4.3

Schreibe $36 x^{2}$ als ${(6 x)}^{2}$ um.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - {(6 x)}^{2}}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 6 x$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 6 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Schritt 5.1.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 4 \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{6} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$- 4 (\frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}} d u)$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{4^{2} - u^{2}}}$ nach $u$ ist $\arcsin (\frac{u}{4})$

$- 4 (\frac{1}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C))$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Schritt 8.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $6$ .

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Schritt 8.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 (- 2)}{6} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Schritt 8.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Schritt 8.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Schritt 8.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Schritt 8.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$

Schritt 8.2

Schreibe $- \frac{2}{3} (\arcsin (\frac{u}{4}) + C)$ als $- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$ um.

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} u) + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $6 x$ .

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} (6 x)) + C$

Schritt 10

Kombiniere $\arcsin (\frac{1}{4} (6 x))$ und $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{\arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) \cdot 2}{3} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$- \frac{2}{3} \arcsin (\frac{1}{4} \cdot 6 x) + C$