Analysis Beispiele

$y = (- x^{2} + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - x^{2} + e^{x}$ und $g (x) = 2 \sin (x) + \cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) \frac{d}{d x} [2 \sin (x) + \cos (x)] + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \sin (x) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \sin (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [- x^{2} + e^{x}]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 5.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (2 \sin (x) + \cos (x)) (- 2 x + e^{x})$

Schritt 7

Stelle die Terme um.

$(- x^{2} + e^{x}) (2 \cos (x) - \sin (x)) + (- 2 x + e^{x}) (2 \sin (x) + \cos (x))$