Analysis Beispiele

$\int 8 {(4 x^{2} - 5)}^{9} x d x$

Schritt 1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$8 \int {(4 x^{2} - 5)}^{9} x d x$

Schritt 2

Sei $u = 4 x^{2} - 5$ . Dann ist $d u = 8 x d x$ , folglich $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 4 x^{2} - 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $4 x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 5]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 x + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$8 x$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$8 \int u^{9} \frac{1}{8} d u$

Schritt 3

Kombiniere $u^{9}$ und $\frac{1}{8}$ .

$8 \int \frac{u^{9}}{8} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{8}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{8}$ aus dem Integral.

$8 (\frac{1}{8} \int u^{9} d u)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $8$ .

$\frac{8}{8} \int u^{9} d u$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8}{8} \int u^{9} d u$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int u^{9} d u$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\int u^{9} d u$ mit $1$ .

$\int u^{9} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{9}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{10} u^{10} + C$

Schritt 7

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 5$ .

$\frac{1}{10} {(4 x^{2} - 5)}^{10} + C$