Analysis Beispiele

$F (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 3}$ an mit $x = 3$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$
	$2$	$9$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(9)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(27)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$
	$2$	$9$	$14$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(14)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(42)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$6$	$27$	$42$
	$2$	$9$	$14$	$27$

Schritt 2.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 9 x + 14 + \frac{27}{x - 3}$

Schritt 3

Da $3 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $3$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $3$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{3}{2}}$ an mit $x = - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- \frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$
	$2$	$0$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(- \frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$
	$2$	$0$	$- 13$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 13)$ mit dem Divisor $(- \frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{39}{2})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 3$	$0$	$\frac{39}{2}$
	$2$	$0$	$- 13$	$\frac{9}{2}$

Schritt 4.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 0 x - 13 + \frac{\frac{9}{2}}{x + \frac{3}{2}}$

Schritt 4.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 13 + \frac{9}{2 x + 3}$

Schritt 5

Da $- \frac{3}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{3}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{3}{2}$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 5}$ an mit $x = 5$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$
	$2$	$13$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(13)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(65)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$
	$2$	$13$	$52$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(52)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(260)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$10$	$65$	$260$
	$2$	$13$	$52$	$245$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 13 x + 52 + \frac{245}{x - 5}$

Schritt 7

Da $5 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $5$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $5$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 5}$ an mit $x = - 5$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$
	$2$	$- 7$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(35)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$
	$2$	$- 7$	$22$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(22)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 110)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 10$	$35$	$- 110$
	$2$	$- 7$	$22$	$- 125$

Schritt 8.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + - 7 x + 22 + \frac{- 125}{x + 5}$

Schritt 8.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 7 x + 22 - \frac{125}{x + 5}$

Schritt 9

Da $- 5 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 5$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 5$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{5}{2}}$ an mit $x = \frac{5}{2}$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$
	$2$	$8$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(20)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$
	$2$	$8$	$7$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(7)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{35}{2})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$5$	$20$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$8$	$7$	$\frac{5}{2}$

Schritt 10.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{\frac{5}{2}}{x - \frac{5}{2}}$

Schritt 10.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} + 8 x + 7 + \frac{5}{2 x - 5}$

Schritt 11

Da $\frac{5}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{5}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{5}{2}$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - 15}$ an mit $x = 15$ .

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(15)$ und schreibe das Ergebnis von $(30)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$
	$2$	$33$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(33)$ mit dem Divisor $(15)$ und schreibe das Ergebnis von $(495)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$
	$2$	$33$	$482$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(482)$ mit dem Divisor $(15)$ und schreibe das Ergebnis von $(7230)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$30$	$495$	$7230$
	$2$	$33$	$482$	$7215$

Schritt 12.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 33 x + 482 + \frac{7215}{x - 15}$

Schritt 13

Da $15 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $15$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $15$

Schritt 14

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + 15}$ an mit $x = - 15$ .

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Schritt 14.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 14.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 15)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 30)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$

Schritt 14.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$
	$2$	$- 27$

Schritt 14.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 27)$ mit dem Divisor $(- 15)$ und schreibe das Ergebnis von $(405)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$

Schritt 14.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$
	$2$	$- 27$	$392$

Schritt 14.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(392)$ mit dem Divisor $(- 15)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5880)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$

Schritt 14.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 15$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 30$	$405$	$- 5880$
	$2$	$- 27$	$392$	$- 5895$

Schritt 14.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + - 27 x + 392 + \frac{- 5895}{x + 15}$

Schritt 14.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 27 x + 392 - \frac{5895}{x + 15}$

Schritt 15

Da $- 15 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 15$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 15$

Schritt 16

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x - \frac{15}{2}}$ an mit $x = \frac{15}{2}$ .

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Schritt 16.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 16.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 16.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$

Schritt 16.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$
	$2$	$18$

Schritt 16.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(18)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(135)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$

Schritt 16.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$
	$2$	$18$	$122$

Schritt 16.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(122)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(915)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$

Schritt 16.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$15$	$135$	$915$
	$2$	$18$	$122$	$900$

Schritt 16.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{900}{x - \frac{15}{2}}$

Schritt 16.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} + 18 x + 122 + \frac{1800}{2 x - 15}$

Schritt 17

Da $\frac{15}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{15}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{15}{2}$

Schritt 18

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} + 3 x^{2} - 13 x - 15}{x + \frac{15}{2}}$ an mit $x = - \frac{15}{2}$ .

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Schritt 18.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

Schritt 18.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$

	$2$

Schritt 18.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(3)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$

Schritt 18.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$
	$2$	$- 12$

Schritt 18.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 12)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(90)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 13)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$

Schritt 18.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$
	$2$	$- 12$	$77$

Schritt 18.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(77)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- \frac{1155}{2})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$

Schritt 18.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{2}$	$2$	$3$	$- 13$	$- 15$
		$- 15$	$90$	$- \frac{1155}{2}$
	$2$	$- 12$	$77$	$- \frac{1185}{2}$

Schritt 18.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + - 12 x + 77 + \frac{- \frac{1185}{2}}{x + \frac{15}{2}}$

Schritt 18.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 12 x + 77 - \frac{1185}{2 x + 15}$

Schritt 19

Da $- \frac{15}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{15}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{15}{2}$

Schritt 20

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $3, 5, \frac{5}{2}, 15, \frac{15}{2}$

Untere Schranken: $- \frac{3}{2}, - 5, - 15, - \frac{15}{2}$

Schritt 21