Analysis Beispiele

$x e^{y} + y e^{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x e^{y} + y e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

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Schritt 2.1

Da $e^{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x e^{y}$ nach $x$ gleich $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ .

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Schritt 3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y e^{x}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{y} + y \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{y} + y e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$e^{x} y + e^{y}$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $e^{x} y + e^{y}$ um.

$y e^{x} + e^{y}$