Analysis Beispiele

$y = \tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} \tan^{3} (x)]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} \tan^{3} (x)$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\tan^{3} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = \tan (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{1}{3} (3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Schritt 3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3}{3} (\tan^{2} (x) \sec^{2} (x))$

Schritt 3.5

Kombiniere $\tan^{2} (x)$ und $\frac{3}{3}$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3} \sec^{2} (x)$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{\tan^{2} (x) \cdot 3}{3}$ und $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{\tan^{2} (x) \cdot 3 \sec^{2} (x)}{3}$

Schritt 3.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\tan^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \cdot \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Schritt 3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec^{2} (x) + \frac{3 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}{3}$

Schritt 3.8.2

Dividiere $\tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$ durch $1$ .

$\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$

Schritt 4.2

Faktorisiere $\sec^{2} (x)$ aus $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $\sec^{2} (x)$ aus $\sec^{2} (x) \tan^{2} (x)$ heraus.

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x)$

Schritt 4.2.2

Multipliziere mit $1$ .

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere $\sec^{2} (x)$ aus $\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x)) + \sec^{2} (x) \cdot 1$ heraus.

$\sec^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Schritt 4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 4.4

Multipliziere $\sec^{2} (x)$ mit $\sec^{2} (x)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (x)}^{2 + 2}$

Schritt 4.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\sec^{4} (x)$