Analysis Beispiele

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} - x - 12}{x - 4}, x \neq 4 \\ 7, x = 4 \end{cases}$

Schritt 1

Finde die Grenze von $\frac{x^{2} - x - 12}{x - 4}$ , wenn sich $x$ $4$ nähert.

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Schritt 1.1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - x - 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $12$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $4$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4^{2} - lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{4^{2} - 4 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16 - 4 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{16 - 4 - 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.5.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.2.5.3

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Schritt 1.1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - x - 12}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.5

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.6

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Schritt 1.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Schritt 1.1.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1}{1 + 0}$

Schritt 1.1.3.10

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{2 x - 1}{1}$

Schritt 1.1.4

Dividiere $2 x - 1$ durch $1$ .

$lim_{x \to 4} 2 x - 1$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $4$ annähert.

$lim_{x \to 4} 2 x - lim_{x \to 4} 1$

Schritt 1.2.2

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$2 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 1$

Schritt 1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $4$ annähert.

$2 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $4$ für $x$ .

$2 \cdot 4 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$8 - 1$

Schritt 1.4.2

Subtrahiere $1$ von $8$ .

$7$

Schritt 2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$7$

Schritt 3

Da die Grenze von $\frac{x^{2} - x - 12}{x - 4}$ bei Annäherung von $x$ an $4$ gleich dem Funktionswert bei $x = 4$ ist, ist die Funktion bei $x = 4$ kontinuierlich.

Stetig

Schritt 4