Analysis Beispiele

$- \frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{6}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{x^{4}}}{6}]$ als $\frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt[3]{x}}{6}]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{\sqrt[3]{x^{3} x}}{6}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x \sqrt[3]{x}}{6}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}{6}]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{1} x^{\frac{1}{3}}}{6}]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{1 + \frac{1}{3}}}{6}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{6}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{\frac{3 + 1}{3}}}{6}]$

Schritt 3.4

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{\frac{4}{3}}}{6}]$

Schritt 4

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{\frac{4}{3}}}{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{4}{3}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Schritt 6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Schritt 9.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$- \frac{1}{6} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{6} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 11

Mutltipliziere $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 6}$

Schritt 12

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$- \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{18}$

Schritt 13

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{1}{3}}$ heraus.

$- \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}})}{18}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$- \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}})}{2 (9)}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (2 x^{\frac{1}{3}})}{2 \cdot 9}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{9}$