Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ mit $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Schritt 2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ mit $\frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}}}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{\sqrt{4 + e^{t}} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Schritt 2.2

Potenziere $\sqrt{4 + e^{t}}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} \sqrt{4 + e^{t}}} d t]$

Schritt 2.3

Potenziere $\sqrt{4 + e^{t}}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1} {\sqrt{4 + e^{t}}}^{1}} d t]$

Schritt 2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{1 + 1}} d t]$

Schritt 2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}} d t]$

Schritt 2.6

Schreibe ${\sqrt{4 + e^{t}}}^{2}$ als $4 + e^{t}$ um.

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Schritt 2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 + e^{t}}$ als ${(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{({(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d t]$

Schritt 2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d t]$

Schritt 2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Schritt 2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{\frac{2}{2}}} d t]$

Schritt 2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{{(4 + e^{t})}^{1}} d t]$

Schritt 2.6.5

Vereinfache.

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t]$

Schritt 3

Nehme die Ableitung von $\int_{0}^{\ln (x)} \frac{\sqrt{4 + e^{t}}}{4 + e^{t}} d t$ in Bezug auf $x$ unter Verwendung des Fundamentalsatzes der Analysis und der Kettenregel.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Schritt 4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + e^{\ln (x)}}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Schritt 5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + e^{\ln (x)}}$

Schritt 6

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\frac{1}{x} \cdot \frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{\sqrt{4 + x}}{4 + x}$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (4 + x)}$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot 4 + x \cdot x}$

Schritt 8.2

Vereine die Terme

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Schritt 8.2.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 \cdot x + x \cdot x}$

Schritt 8.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x}$

Schritt 8.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1} x^{1}}$

Schritt 8.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{1 + 1}}$

Schritt 8.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sqrt{4 + x}}{4 x + x^{2}}$

Schritt 8.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x^{2} + 4 x}$

Schritt 8.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 4 x$ heraus.

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Schritt 8.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + 4 x}$

Schritt 8.4.2

Faktorisiere $x$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x \cdot x + x \cdot 4}$

Schritt 8.4.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 4$ heraus.

$\frac{\sqrt{4 + x}}{x (x + 4)}$