Analysis Beispiele

$x \ln (x^{2} + 4 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x^{2} + 4 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 4 x)] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} + 4 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 4 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 4 x$ .

$x (\frac{1}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} + 4 x}$ und $x$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x] + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4 \cdot 1) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x) \cdot 1$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Mutltipliziere $\ln (x^{2} + 4 x)$ mit $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4 x} (2 x + 4) + \ln (x^{2} + 4 x)$

Schritt 3.8.2

Stelle die Terme um.

$(2 x + 4) \frac{x}{x^{2} + 4 x} + \ln (x^{2} + 4 x)$